S²=1/n[（x1-X的平均值）²+（X2-X的平均值）²+…+（Xn-X的平均值）²]为什么相等于S²=1/n（X1+X2+..+Xn）-X的平均值²

Question

S²=1/n [（x1-X的平均值 ）²+（X2-X的平均值 ）²+…+（Xn-X的平均值）²] 为什么相等于S²=1/n（X1+X2+..+Xn）-X的平均值²

Answer 1

设X的平均值=x0
（x1-X的平均值 ）²+（X2-X的平均值 ）²+…+（Xn-X的平均值）²
=（x1）²-2x1x0+（X0 ）²+（X2）²-2x2x0+(X0 ）²…+（Xn）²-2Xnx0+(x0）²
=（x1 ）²+（X2 ）²+…+（Xn）²-2X0(X1+X2+…+Xn)+n(X0）²
=（x1 ）²+（X2 ）²+…+（Xn）²-2X0(nX0)+n(X0）²
=（x1 ）²+（X2 ）²+…+（Xn）²-n(X0）²
∴S²=1/n（X1到Xn的平方和）-X的平均值²
你写的结论式子有误