设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x，若存在x∈[t2-1，t]，使不等式f（2x+t）≥2f（x）成立，则实数t的取值范围是．（1−52，1+174）（1−52，1+174）．

Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝√(x)，若存在x∈[t²-1，t]，使不等式f（2x+t）≥2f（x）成立，则实数t的取值范围是．

（(1−√(5))/(2)，(1+√(17))/(4)）

（(1−√(5))/(2)，(1+√(17))/(4)）

．

Answer 1

当x≥0时，f(x)＝√(x)，
∵函数是奇函数∴当x＜0时，f(x)＝−√(x)．
∴f（x）=

√(x)，x≥0

−√(x)，x＜0

，
∴f（x）在R上是单调递增函数，且满足f（2x+t）≥2f（x）．
∵不等式f（2x+t）≥2f（x）=f（4x）在[t²-1，t]恒成立，
∴2x+t≥4x在[t²-1，t]恒成立，即：t≥2x，在[t²-1，t]恒成立，
∴t≥2t²-2且t≥t²-1，∴(1−√(5))/(2)≤t≤(1+√(17))/(4)，
故答案为：（

作业帮用户 2017-10-22

问题解析

由当x≥0时，f（x）=x²，函数是奇函数，可得当x＜0时，f（x）=-x²，从而f（x）在R上是单调递增函数，且满足3f（x）=f（ x），再根据不等式f（x+t）≥3f（x）=f（ x）在[t，t+3]恒成立，可得x+t≥x在[t，t+3]恒成立，即可得出答案．

名师点评

本题考点：

函数恒成立问题；函数单调性的性质；其他不等式的解法．

考点点评：

本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．

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