设随机变量X与Y相互独立，且X～N（2，3），Y～N（3，5），则随机变量Z=3X-2Y+4的概率密度fZ（z）=174πe(19−10z)29990−(z−10)254−910174πe(19−10z)29990−(z−10)254−910．

Question

设随机变量X与Y相互独立，且X～N（2，3），Y～N（3，5），则随机变量Z=3X-2Y+4的概率密度f_Z（z）=

(1)/(√(74π))e((19−10z)2)/(9990)−((z−10)2)/(54)−(9)/(10)

(1)/(√(74π))e((19−10z)2)/(9990)−((z−10)2)/(54)−(9)/(10)

．

Answer 1

由X～N（2，3），Y～N（3，5）可得：
f(x)＝(1)/(√(2π)σ)e−((x−μ)2)/(2σ2)＝(1)/(√(6π))e−((x−2)2)/(6)，f(y)＝(1)/(√(2π)σ)e−((y−μ)2)/(2σ2)＝(1)/(√(10π))e−((y−3)2)/(10)
所以，P(Z≤z)＝P(3x−2y+4≤z)＝

∫

+∞ −∞

∫	(z+2y−4)/(3) −∞

f(x，y)dxdy=

∫

+∞ −∞

∫

z −∞

f((u+2y−4)/(3)，y)d(1)/(3)udy
上式对z求导可得：
fZ(z)＝

∫

+∞ −∞

(1)/(3)f((z+2y−4)/(3)，y)dy
=(1)/(3)

∫

+∞ −∞

f((z+2y−4)/(3))f(y)dy=(1)/(3)

∫

+∞ −∞

(1)/(2√(15)π)e−(((1)/(3)z+(2)/(3)y−(10)/(3))2)/(6)−((y−3)2)/(10)dy=(1)/(6√(15)π)e−((z−10)2)/(54)−(9)/(10)

∫

+∞ −∞

e−(37)/(270)y2+(19−10z)/(135)ydy
=(1)/(6√(15)π)e((19−10z)2)/(9990)−((z−10)2)/(54)−(9)/(10)

∫

+∞ −∞

e−(√((37)/(270))y−(19−10z)/(√(9990)))2dy

=(1)/(6√(15)π)e((19−10z)2)/(9990)−((z−10)2)/(54)−(9)/(10)√((270)/(37))√(π)=(1)/(√(74π))e((19−10z)2)/(9990)−((z−10)2)/(54)−(9)/(10)