Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，an2+2an=4Sn+3．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn=1anan+1，设数列{bn}前n项和Tn，且λ≤Tn对一切n∈N*都成立，试求λ的最大值．

Question

S_n为数列{a_n}的前n项和，已知a_n>0，a_n²+2a_n=4S_n+3．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=(1)/(anan+1)，设数列{b_n}前n项和T_n，且λ≤T_n对一切n∈N^*都成立，试求λ的最大值．

Answer 1

（1）由an2+2an=4Sn+3，①
可知an-12+2an-1=4Sn-1+3，②（n≥2）
①-②得：an2-an-12+2an-2an-1=4an，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=2（a_n+a_n-1）．
∵a_n>0，∴a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1=2（n≥2），
∴{a_n}是以a₁=3为首项，d=2为公差的等差数列．
∴an=2n+1(n∈N*)．
（2）bn=(1)/(anan+1)=(1)/((2n+1)(2n+3))=(1)/(2)((1)/(2n+1)-(1)/(2n+3))．
T_n=b₁+b₂+…+b_n=(1)/(2)[((1)/(3)-(1)/(5))+((1)/(5)-(1)/(7))+…+((1)/(2n+1)-(1)/(2n+3))]=(n)/(3(2n+3))．
∵λ≤T_n对一切n∈N^*成立，∴λ≤T₁．
∴λ≤(1)/(15)，即的最大值为(1)/(15)．