平面内有11个点,由它们连成48条不同的直线,由这些点可连成多少个三角形?答案是161,为什么?

Question

平面内有11个点,由它们连成48条不同的直线,由这些点可连成多少个三角形?
答案是161,为什么?

Answer 1

解析,首先你要分析,平面中有11个点,如果这些点中任意三点都没有共线的,那么一共应该有C(11)2=55,可是,题目中说可以连接成48条直线,那么这11个点中必定有三个点共线的.55-48=7,从7来分析,
①假设有一组三个点共线,那么可以组成的直线在55的基础上应该减去C(3)2-1=2 2*3=6≠7,因此,可以断定不仅有三点共线的,也可能有四个点共线的可能.
②假设有一组四个点共线,那么可以组成的直线在55的基础上应该减去C(4)2-1=5
【备注,五个点共线的可能不存在,因为,C(5)2-1=9>7,故,不可能有五条直线共线】
C(3)2-1+C(4)2-1=7,
因此,综上分析,这11个点中,必定有一组三个点共线,并且还有一组四个点共线.那么,这11个点能组成的三角形的个数为,C(11)3-C(3)3-C(4)3=165-1-3=160 【备注,三个点共线不能组成三角形】