如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1⊥平面ABC，D，E分别是CC1，AB的中点．（1）求证：CE∥平面A1BD；（2）若H为A1B上的动点，CH与平面A1AB所成的最大角的正切值为152，

Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA₁⊥平面ABC，D，E分别是CC₁，AB的中点．
（1）求证：CE∥平面A₁BD；
（2）若H为A₁B上的动点，CH与平面A₁AB所成的最大角的正切值为(√(15))/(2)，求侧棱AA₁的长．

Answer 1

（1）证明：延长A₁D交AC的延长线于点F，连接BF．
∵CD∥AA₁，且CD=(1)/(2)AA₁，
∴C为AF的中点．
∵E为AB的中点，
∴CE∥BF．
∵BF⊂平面A₁BD，CE⊄平面A₁BD，
∴CE∥平面A₁BD．
（2）∵AA₁⊥面ABCCE⊂面ABC，∴AA₁⊥CE
又△ABC等边，E是中点，
∴CE⊥AB，CE＝(√(3))/(2)AB＝√(3)
∴CE⊥面AA₁B，连接EH，则∠EHC为CH与平面AA₁B所成的角．
在Rt△CEH中，tan∠EHC＝(CE)/(EH)＝(√(3))/(EH)，
∴EH最短时∠EHC最大
此时，EH⊥A₁B，
∴tan∠EHC＝(CE)/(EH)＝(√(3))/(EH)＝(√(15))/(2)，∴EH＝(2√(5))/(5)
由平几相似关系得AA₁=4．