请问广义欧几里德除法拿来干嘛的?还有模重复平方法又有什么用?欧拉定理呢?都会求了,但是不知道什么时候用.

Question

请问广义欧几里德除法拿来干嘛的?还有模重复平方法又有什么用?欧拉定理呢?都会求了,但是不知道什么时候用.

Answer 1

首先证明下面这个命题：对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n且与n互素的数,即n的一个化简剩余系（或称简系、缩系),考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)} .则S = Zn1) 由于a,n互质,xi也与n互质,则a*xi也一定与n互质,因此任意xi,a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素 .2) 对于Zn中两个元素xi和xj,如果xi ≠ xj则a*xi(mod n) ≠ a*xj(mod n),这个由a、n互质和消去律可以得出.所以,很明显,S=Zn既然这样,那么（a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n)= （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n)= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)考虑上面等式左边和右边左边等于([a^φ(n)] *（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n)右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互质根据消去律,可以从等式两边约去,就得到：a^φ(n) ≡ 1 (mod n)推论：对于互质的数a、n,满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n)费马定理:a是不能被质数p整除的正整数,则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)证明这个定理非常简单,由于φ(p) = p-1,代入欧拉定理即可证明.推论：对于任意正整数a,有a^p ≡ a (mod p),因为a能被p整除时结论显然成立.