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如图,平面直角坐标系中,A(2,0),△OAC为等边三角形.(1)如图1,若D(0,4),△ADE为等边三角形,∠DAC=10°,求∠AEC的度数.(2)如图2,若P为x轴正半轴上一点,且P在A的右侧,△PCM
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如图,平面直角坐标系中,A(2,0),△OAC为等边三角形.
(1)如图1,若D(0,4),△ADE为等边三角形,∠DAC=10°,求∠AEC的度数.
(2)如图2,若P为x轴正半轴上一点,且P在A的右侧,△PCM为等边三角形,MA的延长线交y轴于N,求AM-AP的值.
(3)如图3,若P为x轴正半轴上一点,且P在A的右侧,△PAM为等边三角形,OM与PC交于F,求证:AF+MF=PF.

(1)如图1,若D(0,4),△ADE为等边三角形,∠DAC=10°,求∠AEC的度数.
(2)如图2,若P为x轴正半轴上一点,且P在A的右侧,△PCM为等边三角形,MA的延长线交y轴于N,求AM-AP的值.
(3)如图3,若P为x轴正半轴上一点,且P在A的右侧,△PAM为等边三角形,OM与PC交于F,求证:AF+MF=PF.

▼优质解答
答案和解析
(1) 如图1,∵△AOC和△DAE是等边三角形,
∴AC=AO,AE=AD,∠OAC=∠EAD=60°
∴∠CAE=∠DAO=60○-∠CAD,
在△CAE和△OAD中,
,
∴△CAE≌△OAD(SAS),
∴CE=OD=4,∠ACE=∠AOD=90°,
∵∠DAC=10°,∠DAE=60°,
∴∠CAE=60°+10°=70°,
∴∠AEC=180°-90°-70°=20°;
(2) 如图2,∵△AOC和△CPM是等边三角形,
∴OA=AC,CP=CM,∠OCA=∠MCP=60°,
∴∠OCP=∠ACM,
在△OCP和△ACM中,
,
∴△OCP≌△ACM(SAS),
∴AM=OP,
∴AM-OP=OP-AP=OA,
∵A(2,0),
∴OA=2,
即AM-AP=2;

(3)证明:如图3,将△PAF顺时针旋转60°得到△EAM,
则△PAF≌△MAE,∠FAE=60°,
∴PF=EM,AF=AE,
∴△EAF是等边三角形,
∴EF=AF,
∴AF+MF=EF+MF=EM=PF,即AF+MF=PF.

∴AC=AO,AE=AD,∠OAC=∠EAD=60°
∴∠CAE=∠DAO=60○-∠CAD,
在△CAE和△OAD中,
|
∴△CAE≌△OAD(SAS),
∴CE=OD=4,∠ACE=∠AOD=90°,
∵∠DAC=10°,∠DAE=60°,
∴∠CAE=60°+10°=70°,
∴∠AEC=180°-90°-70°=20°;

(2) 如图2,∵△AOC和△CPM是等边三角形,
∴OA=AC,CP=CM,∠OCA=∠MCP=60°,
∴∠OCP=∠ACM,
在△OCP和△ACM中,
|
∴△OCP≌△ACM(SAS),
∴AM=OP,
∴AM-OP=OP-AP=OA,
∵A(2,0),
∴OA=2,
即AM-AP=2;

(3)证明:如图3,将△PAF顺时针旋转60°得到△EAM,
则△PAF≌△MAE,∠FAE=60°,
∴PF=EM,AF=AE,
∴△EAF是等边三角形,
∴EF=AF,
∴AF+MF=EF+MF=EM=PF,即AF+MF=PF.
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