如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△CDF，作点F关于CD的对称点，记为点G，连接DG．（1）依题意在图1中补全图形；（2）连接BD，EG，判断BD与EG的位

Question

如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△CDF，作点F关于CD的对称点，记为点G，连接DG．

（1）依题意在图1中补全图形；
（2）连接BD，EG，判断BD与EG的位置关系并在图2中加以证明；
（3）当点E为线段AB的中点时，直接写出∠EDG的正切值．

Answer 1

（1）依题意补全图形如图1：


（2）结论：BD⊥EG．
证明：如图2，BD，EG交于M，

∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠DAE=∠DCB=90°，
由旋转可得△ADE≌△CDF，DE=DF，AE=CF
∴∠DCF=∠DAE=∠DCB=90°，
∴点B，C，F在一条直线上．
∵点G与点F关于CD的对称
∴△DCG≌△DCF，DG=DF，CG=CF
∴DE=DG，AE=CG，
∴BE=BG 
∴BD⊥EG于M．

（3）如图3，
过G作GM⊥DE于M，
由（2）知，DE=DG，
设BE=x，
∴AE=CF=CG=BG=x，
∴AD=2x，
在Rt△ADE中，DE=√((2x)2+x2)=√(5)x，
∴DG=√(5)x，
在Rt△BEG中，EG=√(2)x，
设DM=a，
∴EM=DE-DM=√(5)x-a，
在Rt△EMG中，MG²=EG²-EM²，
∴MG²=2x²-（√(5)x-a）²，
在Rt△DMG中，MG²=5x²-a²，
∴2x²-（√(5)x-a）²=5x²-a²，
∴a=(4√(5))/(5)，
∴MG=(3√(5))/(5)x
在Rt△DMG中，tan∠EDG=(MG)/(DM)=(3)/(4)．
即：∠EDG的正切值为