（2013•浦东新区一模）如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB＝AC＝32，经过这个三角形重心的直线DE∥BC，分别交边AB、AC于点D和点E，P是线段DE上的一个动点，过点P分别做PM⊥BC，PF⊥AB，PG⊥AC，

Question

（2013•浦东新区一模）如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB＝AC＝3√(2)，经过这个三角形重心的直线DE∥BC，分别交边AB、AC于点D和点E，P是线段DE上的一个动点，过点P分别做PM⊥BC，PF⊥AB，PG⊥AC，垂足分别为点M、F、G．设BM=x，四边形AFPG的面积为y．
（1）求PM的长；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）连接MF、MG，当△PMF与△PMG相似时，求BM的长．

Answer 1

（1）过点A作AN⊥BC于点N，交DE于点H，则点H为△ABC的重心，

由题意得△ABC是等腰直角三角形，
故AN=(1)/(2)BC=3，
由重心的性质可得：(AH)/(HN)=2，
∴(DE)/(BC)=(AH)/(AN)=(2)/(3)，
故HN=(1)/(3)AN=1，DE=4，
即可得PM的长为1．

（2）过点D作DI⊥BC于I，过点E作EK⊥BC于点K，

则BI=DI=PM=1，
设BM=x，则IM=DP=x-1，PE=4-DP=5-x，
易得△FDP、△GPE均为等腰直角三角形，
∴PF=(x−1)/(√(2))，PG=(5−x)/(√(2))，
则y=PF×PG=(x−1)/(√(2))×(5−x)/(√(2))=(1)/(2)（x-1）（5-x）=(−x2+6x−5)/(2)，
由图形可得点M处于I-K之间，故可得：1＜x＜5．
综上可得y=(−x2+6x−5)/(2)，（1＜x＜5）．

（3）①当△PMF≌△PMG时，此时点P与点H重合，BM=BN=3；
②当△PMF∽△PGM时，

作业帮用户 2017-11-01