在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有

Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．
求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t=3秒时，P、Q两点之间的距离是多少？
（3）当t为多少秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer 1

（1）由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20-4t，
因此Rt△CPQ的面积为S=(1)/(2)×(20−4t)×2t＝20t−4t2cm²；
（2）当t=3秒时，CP=20-4t=8cm，CQ=2t=6cm，
由勾股定理得PQ=√(CP2+CQ2)＝√(82+62)＝10cm；
（3）分两种情况：
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，(CP)/(CA)＝(CQ)/(CB)，即(20−4t)/(20)＝(2t)/(15)，解得t=3秒；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，(CP)/(CB)＝(CQ)/(CA)，即(20−4t)/(15)＝(2t)/(20)，解得t=(40)/(11)秒．
因此t=3秒或t=(40)/(11)秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．