判断序列的周期对于正弦序列x(n)=Asin(n*W0+θ),如何判断其周期性?要求写出过程

Question

判断序列的周期
对于正弦序列x(n)=Asin(n*W0+θ),如何判断其周期性?
要求写出过程

Answer 1

如果是一般函数
x(t) = Asin(tw0 + θ),
x(t) = Asin(tw0 + θ + 2kPI)
= Asin[(t+2kPI/w0)w0 + θ]
= x(t + 2kPI/w0)
周期为 2kPI/w0,k = 1,-1,2,-2,...,m,-m,...
其中,m为正整数.
对于正弦序列x(n) = Asin(n*W0 + θ),若其存在周期,则周期必须是非零整数.
也就是说,只有当 存在一个非零整数k,使得 2kPI/W0 为一个整数时,正弦序列x(n) = Asin(n*W0 + θ)才是周期序列.并且,其中一个周期为 2kPI/W0 .
所以,

只有当 存在非零整数p,q,使得 W0 = 2pPI/q 时,正弦序列x(n) = Asin(n*W0 + θ)才是周期序列.并且,其中一个周期为 q.

当不存在非零整数p,q,能使 W0 = 2pPI/q 时,正弦序列x(n) = Asin(n*W0 + θ)是非周期序列.