一个四位数的各位数字互不相同，将其千位与个位数字调换后形成新的四位数，新四位数与原数的最大公约数是63，则原四位数可能是多少？

Question

一个四位数的各位数字互不相同，将其千位与个位数字调换后形成新的四位数，新四位数与原数的最大公约数是63，则原四位数可能是多少？

Answer 1

设M=abcd，N=dbca，则M-N=1000a+100b+10c+d-（1000d+100b+10c+a）=999a-999d=999（a-d）；
因为M和N的最大公约数是63，
所以M与M-N的最大公约数也是63，
可得999（a-d）是7、9的倍数，
所以a-d=7，
解得

a=9

d=2

或

a=8

d=1

，
M=9bc2或M=8bc1，M是7、9的倍数，
①当M=9bc2时，
因为M是9的倍数，
所以9+b+c+2=11+b+c是9的倍数，
因此b+c=7或b+c=16（舍去），
经验证，满足题意的M不存在；
②当M=8bc1时，
因为M是9的倍数，
所以8+b+c+1=9+b+c是9的倍数，
因此b+c=9或b+c=18（舍去），
经验证，8631满足题意，
同理，1638也满足题意，
综上，原四位数是8631或1638．