如图①，点A、B、C在⊙O上，且AB=AC，P是弧AC上的一点，（点P不与点A、C重合），连接AP、BP、CP，在BP上截取BD=AP，连接CD．若∠APB=60°，解答下列问题：（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）求

Question

如图①，点A、B、C在⊙O上，且AB=AC，P是弧AC上的一点，（点P不与点A、C重合），连接AP、BP、CP，在BP上截取BD=AP，连接CD．若∠APB=60°，解答下列问题：
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）求证：△CDP是等边三角形；
（3）如图②，若点D和圆心O重合，AB=2，则PC的长为

(2√(3))/(3)

(2√(3))/(3)

．

Answer 1

（1）证明：如图①，
∵∠ACB=∠APB=60°，
而AB=AC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）证明：如图①，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，
在△BCD和△APC中，

BD＝AP

∠DBC＝∠PAC

BC＝AC

，
∴△BCD≌△APC（SAS），
∴CD=CP，∠BCD=∠ACP，
∵∠BCD+∠ACD=60°，
∴∠ACP+∠ACD=60°，即∠DCP=60°，
∴△CDP是等边三角形；
（3）如图②，
∵点D和圆心O重合，即BP为直径，
∴∠PCB=90°，
∵△CDP是等边三角形，
∴∠OPC=60°，
∴∠PBC=30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=2，
在Rt△PBC中，∵∠PBC=30°，
∴PC=(√(3))/(3)BC=(2√(3))/(3)．
故答案为(2)/(3)√(3)．