如图1所示，用一根长为l=1m的细线，一端系一质量为m=1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动

Question

如图1所示，用一根长为l=1m的细线，一端系一质量为m=1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T．求（取g=10m/s²，结果可用根式表示）：
（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω₀至少为多大？
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω'为多大？
（3）细线的张力T与小球匀速转动的加速度ω有关，请在图2坐标纸上画出ω的取值范围在0到ω'之间时的T-ω₂的图象（要求标明关键点的坐标值）．

Answer 1

（1）小球刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律得：

mgtanθ＝mω02lsinθ

∴ω02＝(g)/(lcosθ)

ω0＝√((g)/(lcosθ))＝√(12.5)rad/s

（2）若细线与竖直方向的夹角为60°时，小球离开锥面，由重力和细线拉力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得：
  mgtan60°=mω′²lsin60°
得，ω′=√((g)/(lcos60°))=√((10)/(1×(1)/(2)))=2√(5)rad/s
（3）a．当ω₁=0时  T₁=mgcosθ=8N，标出第一个特殊点坐标（ 0，8N）；
b．当0＜ω＜√(12.5)rad/s时，根据牛顿第二定律得：
 

Tsinθ−Ncosθ＝mω 2lsinθ

Tcosθ+Nsinθ＝mg

得，T＝mgcosθ+mlω2sin2θ＝8+(9)/(25)ω2
当ω2＝√(12.5)rad/s时，T₂=12.5N  标出第二个特殊点坐标[12.5（rad/s）²，12.5N]；
c．当√(12.5)rad/s≤ω≤√(20)rad/s时，小球离开锥面，设细线与竖直方向夹角为β
 

T3sinβ＝mω2lsinβ

∴T3＝mlω2

当ω＝ω′＝√(20)rad/s时，T₃=20N
标出第三个特殊点坐标[20（rad/s）²，20N]．
画出T-ω²图象如图所示．

答：
（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω₀至少为√(12.5)rad/s．
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为2√(5)rad/s．
（3）T-ω₂的图象如上所示．