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如图,半圆O的直径MN=6cm,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=6cm,半圆O以1cm/s的速度从左向右运动,在运动过程中,点M、N始终在直线BC上,设运动时间为t(s),当t=0s时,半圆O在△ABC的左侧
题目详情
如图,半圆O的直径MN=6cm,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=6cm,半圆O以1cm/s的速度从左向右运动,在运动过程中,点M、N始终在直线BC上,设运动时间为t(s),当t=0s时,半圆O在△ABC的左侧,OC=4cm.
(1)当t为何值时,△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切?
(2)当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在圆相切时,如果半圆O与直线MN围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分,求重叠部分的面积.
(1)当t为何值时,△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切?
(2)当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在圆相切时,如果半圆O与直线MN围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分,求重叠部分的面积.
▼优质解答
答案和解析
(1)①如图1所示:当点N与点C重合时,AC⊥OE,OC=ON=3cm,
∴AC与半圆O所在的圆相切.
∴此时点O运动了1cm,所求运动时间为:t=1(s)
②如图2所示;
当点O运动到点C时,过点O作OF⊥AB,垂足为F.
在Rt△FOB中,∠FBO=30°,OB=6cm,则OF=3cm,即OF等于半圆O的半径,所以AB与半圆O所在的圆相切.此时点O运动了4cm,所求运动时间为:t=4(s)
③如图3所示;过点O作OH⊥AB,垂足为H.
当点O运动到BC的中点时,AC⊥OC,OC=OM=3cm,
∴AC与半圆O所在的圆相切.
此时点O运动了7cm,所求运动时间为:t=7(s).
④如图4所示;
当点O运动到B点的右侧,且OB=6cm时,过点O作OQ⊥AB,垂足为Q.
在Rt△QOB中,∠OBQ=30°,则OQ=3cm,即OQ等于半圆O所在的圆的半径,
所以直线AB与半圆O所在的圆相切.此时点O运动了16cm,所求运动时间为:t=16(s).
(2)当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时,半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的只有如图2与3所示的两种情形.
①如图2所示:重叠部分是圆心角为90°,半径为3cm的扇形,所求重叠部分面积=
πr2=
×π×32=
(cm2);
②如图③所示:
设AB与半圆O的交点为P,连接OP,过点O作OH⊥AB,垂足为H.
则PH=BH.在Rt△OBH中,∠OBH=30°,OB=3cm
则OH=1.5cm,BH=
cm,BP=3
cm,S△POB=
BP•OH=
×3
×
=
(cm2)
又因为∠DOP=2∠DBP=60°
所以S扇形DOP=
=
=
(cm2)
所求重叠部分面积为:S△POB+S扇形DOP=
+
(
∴AC与半圆O所在的圆相切.
∴此时点O运动了1cm,所求运动时间为:t=1(s)
②如图2所示;
当点O运动到点C时,过点O作OF⊥AB,垂足为F.
在Rt△FOB中,∠FBO=30°,OB=6cm,则OF=3cm,即OF等于半圆O的半径,所以AB与半圆O所在的圆相切.此时点O运动了4cm,所求运动时间为:t=4(s)
③如图3所示;过点O作OH⊥AB,垂足为H.
当点O运动到BC的中点时,AC⊥OC,OC=OM=3cm,
∴AC与半圆O所在的圆相切.
此时点O运动了7cm,所求运动时间为:t=7(s).
④如图4所示;
当点O运动到B点的右侧,且OB=6cm时,过点O作OQ⊥AB,垂足为Q.
在Rt△QOB中,∠OBQ=30°,则OQ=3cm,即OQ等于半圆O所在的圆的半径,
所以直线AB与半圆O所在的圆相切.此时点O运动了16cm,所求运动时间为:t=16(s).
(2)当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时,半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的只有如图2与3所示的两种情形.
①如图2所示:重叠部分是圆心角为90°,半径为3cm的扇形,所求重叠部分面积=
1 |
4 |
1 |
4 |
9π |
4 |
②如图③所示:
设AB与半圆O的交点为P,连接OP,过点O作OH⊥AB,垂足为H.
则PH=BH.在Rt△OBH中,∠OBH=30°,OB=3cm
则OH=1.5cm,BH=
3
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2 |
3 |
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
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又因为∠DOP=2∠DBP=60°
所以S扇形DOP=
nπr2 |
360 |
60π×32 |
360 |
3π |
2 |
所求重叠部分面积为:S△POB+S扇形DOP=
3π |
2 |
9
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4 |
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