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已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=t(Sn-an+1)(t为常数,且t≠0,t≠1).(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=an2+Sn-an,若数列{bn}为等比数列,求t的值;(3)在满足条件(2)的情形下,设cn=4an+
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已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=t(Sn-an+1)(t为常数,且t≠0,t≠1).
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=an2+Sn-an,若数列{bn}为等比数列,求t的值;
(3)在满足条件(2)的情形下,设cn=4an+1,数列{cn}的前n项和为Tn,若不等式
≥2n-7对任意的n∈N*恒成立,求实数k的取值范围.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=an2+Sn-an,若数列{bn}为等比数列,求t的值;
(3)在满足条件(2)的情形下,设cn=4an+1,数列{cn}的前n项和为Tn,若不等式
12k |
4+n−Tn |
▼优质解答
答案和解析
(1)当n=1时,S1=t(S1-a1+1),得a1=1.
当n≥2时,由Sn=t(Sn-an+1),
即(1-t)Sn=-tan+t,①
得,(1-t)Sn-1=-tan-1+t,②
①-②,得(1-t)an=-tan+tan-1,
即an=tan-1,
∴
=t(n≥2),
∴{an}是等比数列,且公比是t,
∴an=tn.
(2)由(1)知,bn=(tn)2+
•tn,
即bn=
,
若数列{bn}为等比数列,
则有
=b1•b3,
而b1=2t2,
=t3(2t+1),b3=t4(2t2+t+1),
故[a3(2t+1)]2=(2a2)•a4(2t2+t+1),
解得t=
,
再将t=
代入bn,得bn=(
)n,
由
=
,知{bn}为等比数列,
∴t=
.
(3)由t=
,知an=(
)n,
∴cn=4(
)n+1,
∴Tn=4×
当n≥2时,由Sn=t(Sn-an+1),
即(1-t)Sn=-tan+t,①
得,(1-t)Sn-1=-tan-1+t,②
①-②,得(1-t)an=-tan+tan-1,
即an=tan-1,
∴
an |
an−1 |
∴{an}是等比数列,且公比是t,
∴an=tn.
(2)由(1)知,bn=(tn)2+
t(1−tn) |
1−t |
即bn=
t2n+tn+1−2t2n+1 |
1−t |
若数列{bn}为等比数列,
则有
b | 2 2 |
而b1=2t2,
b | 2 |
故[a3(2t+1)]2=(2a2)•a4(2t2+t+1),
解得t=
1 |
2 |
再将t=
1 |
2 |
1 |
2 |
由
b n+1 |
b n |
1 |
2 |
∴t=
1 |
2 |
(3)由t=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴cn=4(
1 |
2 |
∴Tn=4×
|
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