一个弹珠游戏简化如图所示．竖直安装在高H=1m的桌面上的“过山车”轨道模型，水平轨道OB粗糙，长为1m，BD光滑；光滑圆轨道半径为R=0.4m．一弹簧左端固定，右端自由伸长到A点，OA长为0.1m

Question

一个弹珠游戏简化如图所示．竖直安装在高H=1m的桌面上的“过山车”轨道模型，水平轨道OB粗糙，长为1m，BD光滑；光滑圆轨道半径为R=0.4m．一弹簧左端固定，右端自由伸长到A点，OA长为0.1m．距桌子右边缘线DF距离S=1.6m有一高度h=0.8m的竖直挡板．现在A点静止放置一个质量m=1kg的小球，并用力缓慢向左把小球推到O点，在这个过程中推力做功W=22.4J．已知小球与轨道OB的摩擦因数μ为0.4，重力加速度g=10m/s²，不计空气阻力．求：

（1）小球推到O点时，弹簧的弹性势能E_P．
（2）该小球从O点静止释放后，运动到圆轨道最高点C时对轨道的压力大小．
（3）为了使都从O点静止释放的小球能落在DF和挡板之间，小球的质量m满足的条件．

Answer 1

（1）根据功能关系可知，
W=μmgx_AO+E_P
解得：E_P=22J；
（2）研究O到C过程：由能量守恒可得：
E_P-μmgx_OB-mg2R=(1)/(2)mv_C²
小球到C点时mg+F_N=m(v2C)/(R)
解得：F_N=40N
根据牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力为40N；
（3）①小球从O点恰好到达C点：
E_P-μmgx_OB-mg2R=(1)/(2)mv_cm²
物体恰好通过最高点的临界值为：
mg=m(v2cm)/(R)
联立解得：m=(11)/(7)kg
②小球恰能够过挡板最高点
则有：E_P-μmgx_OB=(1)/(2)mv_D²
根据平抛运动规律可知：
水平方向s=v_Dt
竖直方向H-h=(1)/(2)gt²
联立解得：
v_D=(s)/(√((2(H-h))/(g)))
联立解得：m=(11)/(18)kg
因此小球的质量满足(11)/(18)kg<m<(11)/(7)kg
答：（1）小球推到O点时，弹簧的弹性势能E_P为22J
（2）该小球从O点静止释放后，运动到圆轨道最高点C时对轨道的压力大小为40N；
（3）为了使都从O点静止释放的小球能落在DF和挡板之间，小球的质量m满足的条件为(11)/(18)kg<m<(11)/(7)kg