设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为（）A.η2+η32+k1(η2−η1)B.η2−η32+k2（η2-η1）C.η2+η32+k1（η3-η1）+k2（η2-η1）D

Question

设A为4×3矩阵，η₁，η₂，η₃是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，k₁，k₂为任意常数，则Ax=β的通解为（　　）
A. (η2+η3)/(2)+k1(η2−η1)
B. (η2−η3)/(2)+k₂（η₂-η₁）
C. (η2+η3)/(2)+k₁（η₃-η₁）+k₂（η₂-η₁）
D. (η2−η3)/(2)+k₂（η₂-η₁）+k₃（η₃-η₁）

Answer 1

∵η₁，η₂，η₃是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，
∴η₂-η₁和η₃-η₁是AX=0的两个线性无关的解，
(η2+η3)/(2)是Ax=β的一个解，(η2−η3)/(2)是Ax=0的一个解，
而Ax=β的通解等于AX=0的通解+Ax=β的一个特解，
故，Ax=β的通解可以表示为：
(η2+η3)/(2)+k₁（η₃-η₁）+k₂（η₂-η₁）
故选：C