（2014•普陀区一模）如图，在正方形ABCD中，AB=2，点P是边BC上的任意一点，E是BC延长线上一点，联结AP，作PF⊥AP交∠DCE的平分线CF上一点F，联结AF交边CD于点G．（1）求证：AP=PF；（2）设点P到

Question

（2014•普陀区一模）如图，在正方形ABCD中，AB=2，点P是边BC上的任意一点，E是BC延长线上一点，联结AP，作PF⊥AP交∠DCE的平分线CF上一点F，联结AF交边CD于点G．
（1）求证：AP=PF；
（2）设点P到点B的距离为x，线段DG的长为y，试求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当点P是线段BC延长线上一动点，那么（2）式中y与x的函数关系式保持不变吗？如改变，试直接写出函数关系式．

Answer 1

（1）证明：如答图1，在线段AB上截取AQ=PC，
则有BP=BQ，∴△BPQ为等腰直角三角形，∴∠AQP=135°．

∵PF⊥AP，
∴∠FPC+∠APB=90°，
又∠PAQ+∠APB=90°，
∴∠PAQ=∠FPC．
在△APQ与△PFC中，

∠AQP＝∠PCF＝135°

AQ＝PC

∠PAQ＝∠FPC

，
∴△APQ≌△PFC（ASA）
∴AP=PF．

（2）如答图2，过点F作FN⊥CE于点N，则易证△ABP≌△PNF，
∴FN=BP=x．

过点F作FM⊥CD于点M，由CF为角平分线，可知MCNF为正方形，
∴MC=MF=FN=BP=x，
∴MG=MD-DG=CD-MC-DG=2-x-y．
∵MF∥AD，
∴△ADG∽△FMG，
∴(AD)/(MF)＝(DG)/(MG)，即(2)/(x)＝(y)/(2−x−y)，
解得：y=(2x−4)/(x+2)（0≤x≤2）．

（3）保持不变．理由如下：
如答图3，过点F作FN⊥CE于点N，则易证△ABP≌△PNF，
∴FN=BP=x．

过点F作FM⊥CD于点M，由CF为角平分线，可知MCNF为正方形，
∴MC=MF=FN=BP=x，
∴MG=MC-DG-CD=x-y-2．
∵MF∥AD，
∴△ADG∽△FMG，
∴(AD)/(MF)＝(DG)/(MG)，即(2)/(x)=(y)/(x−y−2)，
解得：y=(2x−4)/(x+2)．