若a加b加c等于0,a的三次方加b的三次方加c的三次方等于0,求a的19次方加b的19次方加c的19次方的值.最好用三元轮换对称式变形

Question

若a加b加c等于0,a的三次方加b的三次方加c的三次方等于0,求a的19次方加b的19次方加c的19次方的值.
最好用三元轮换对称式变形

Answer 1

首先由恒等式a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca),得abc = 0.
于是a^5+b^5+c^5 = (a+b+c)(a^4+b^4+c^4)-(ab+bc+ca)(a^3+b^3+c^3)+abc(a^2+b^2+c^2) = 0.
进而a^7+b^7+c^7 = (a+b+c)(a^6+b^6+c^6)-(ab+bc+ca)(a^5+b^5+c^5)+abc(a^4+b^4+c^4) = 0.
a^9+b^9+c^9 = (a+b+c)(a^8+b^8+c^8)-(ab+bc+ca)(a^7+b^7+c^7)+abc(a^6+b^6+c^6) = 0.
...
依此类推得a^19+b^19+c^19 = 0.