请找出1～999中的所有数,使它除以7、11、13的余数之和最大

Question

请找出1～999中的所有数,使它除以7、11、13的余数之和最大

Answer 1

要使余数之和最大,三个余数只能分别为 6、10、12 ,
那么这个数加 1 就能同时被 7、11、13 整除,
所以,所求的数为 7*11*13*k-1 的形式,其中 k 为正整数,
可是这种数最小的是 7*11*13-1=1000 ,已超出范围,
因此,余数之和最大时,三个余数分别为 5、10、12 或 6、9、12 或 6、10、11 .
（1）三个余数分别为 5、10、12,则这个数加 1 后能被 11、13 整除,且它被 7 除余 5 ,
因此这个数具有形式 11*13k-1 ,它被 7 除的余数为 3k-1=5 ,解得 k=2,
所以,这个数可以是 11*13*2-1=285 ；
（2）三个余数分别为 6、9、12 ,则这个数加 1 后能被 7、13 整除,且它被 11 除余 9 ,
因此这个数具有形式 7*13k-1 ,它被 11 除的余数为 3k-1=9+11,解得 k=7 ,
所以,这个数可以是 7*13*7-1=636 ；
（3）三个余数分别为 6、10、11,则这个数加 1 后能被 7、11 整除,且它被 13 除余 11 ,
因此这个数具有形式 7*11k-1 ,它被 13 除的余数为 12k-1=11 ,解得 k=1 ,
所以,这个数可以是 7*11-1=76 ；
综上,在 1 至 999 中,有三个数 76、285、636 能使得它除以 7、11、13 的余数之和最大 .