设n为正整数,试判断1+3^(3n-2)+9^3n-2恒为哪一设n为正整数,试判断1+3^(3n-2)+9^（3n-2）恒为哪一正质数的倍数?再用数学归纳法证明

Question

设n为正整数,试判断1+3^(3n-2)+9^3n-2恒为哪一
设n为正整数,试判断1+3^(3n-2)+9^（3n-2）恒为哪一正质数的倍数?
再用数学归纳法证明

Answer 1

解析：
由题意可判断1+3^(3n-2)+9^（3n-2）恒为正质数13的倍数,即1+3^(3n-2)+9^（3n-2）能被13整除
证明如下：
当n=1时,1+3^(3n-2)+9^（3n-2）=1+3+9=13,可知此时该式能被13整除；
假设当n=k,k≥2时,1+3^(3k-2)+9^（3k-2）能被13整除
则当n=k+1时,
1+3^[3(k+1)-2)+9^[3(k+1)-2]
=1+27×3^(3k-2)+729×9^(3k-2)
=27× [ 1+3^(3k-2)+9^(3k-2)] -26 + 702×9^(3k-2)
=27× [ 1+3^(3k-2)+9^(3k-2)] -26 + 13×54×9^(3k-2)
由于27× [ 1+3^(3k-2)+9^(3k-2)],-26和13×54×9^(3k-2)都能被13整除
所以：27× [ 1+3^(3k-2)+9^(3k-2)] -26 + 13×54×9^(3k-2)也能被13整除
这就是说当n=k+1时,1+3^[3(k+1)-2)+9^[3(k+1)-2]能被13整除,成立
所以证得1+3^(3n-2)+9^（3n-2）能被13整除,
即1+3^(3n-2)+9^（3n-2）恒为正质数13的倍数.