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将正13边形的每个顶点都染上黑色或白色,证明存在一个以正13边形的某3个顶点为顶点的等腰三角形,它的三个顶点颜色相同
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将正13边形的每个顶点都染上黑色或白色,证明存在一个以正13边形的某3个顶点为顶点的等腰三角形,它的三个顶点颜色相同
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答案和解析
首先13个点2-染色,一定存在7个点同色.
考虑这7个顶点两两之间的距离.
若这7个顶点中有1个顶点与另2个顶点相邻,则它们构成顶点同色的等腰三角形.
若其中不存在任何1个顶点与2个顶点相邻,即每个顶点至多与1个顶点相邻.
此时,如果A与B相邻,那么A,B都不与B,A之外的顶点相邻,因此相邻顶点总是成对出现.
但7为奇数,于是其中存在1个顶点P不与其它顶点相邻.
考虑P到另外6点的距离.
正13边形的2个顶点的间距共有6种取值.但P不与另外6点相邻,故距离只有5种取值.
于是一定有2点到P距离相等,这3个点即构成顶点同色的等腰三角形.
考虑这7个顶点两两之间的距离.
若这7个顶点中有1个顶点与另2个顶点相邻,则它们构成顶点同色的等腰三角形.
若其中不存在任何1个顶点与2个顶点相邻,即每个顶点至多与1个顶点相邻.
此时,如果A与B相邻,那么A,B都不与B,A之外的顶点相邻,因此相邻顶点总是成对出现.
但7为奇数,于是其中存在1个顶点P不与其它顶点相邻.
考虑P到另外6点的距离.
正13边形的2个顶点的间距共有6种取值.但P不与另外6点相邻,故距离只有5种取值.
于是一定有2点到P距离相等,这3个点即构成顶点同色的等腰三角形.
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