以正多面体各面的中心为顶点,得到一个新的正多面体,我们称这个新的多面体为原多面体的正子体.一个正四面体A1的表面积为S1,它的正子体A2的表面积为S2,A2的正子体A3的表面积为S3,······,

Question

以正多面体各面的中心为顶点,得到一个新的正多面体,我们称这个新的多面体为原多面体的正子体.一个正四面体A1的表面积为S1,它的正子体A2的表面积为S2,A2的正子体A3的表面积为S3,······,如此下去,记第n个正子体的表面积为Sn,已知lim（n趋向于正无穷}{S1+S2+.+Sn=（9倍根号三）/2,问S1是多少..答案是4倍根号三...

Answer 1

A2和A1是相似的,并且对应长度是A1的1/3,所以 面积比 S2 / S1 =(1/3)^2 = 1/9.
以此类推,每个An和A（n-1） 都是相似的,面积比也都是 1/9,所以数列
S1,S2,S3,.
是个等比数列,比为 r=1/9.
这样,那个极限
lim（n趋向于正无穷}{S1+S2+.+Sn｝= S1 / (1- r) = S1 / (1- 1/9) = 9S1 / 8 = （9倍根号三）/2,
所以最后 S1=4倍根号三