设F(x)在区间[a,b]上连续,(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=1,证明存在,ξ,η∈(a,b)使e^η-ξ乘以[f(η)+f'(η)]=1

Question

设F(x)在区间[a,b]上连续,(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=1,证明存在,ξ,η∈(a,b)使e^η-ξ 乘以[f(η)+f'(η)]=1

Answer 1

构造函数F（X）=e^Xf（X）,G（X）=e^X
F(a)=e^a,F(b)=e^b；G（a）=e^a,G(b)=e^b.
由拉格朗日中值定理：必存在一点η属于（a,b）,使F'(η)=[F(b)-F(a)]/(b-a),同理,也有一点ξ属于（a,b）,使G'(ξ)=[G(b)-G(a)]/(b-a),而[F(b)-F(a)]/(b-a)=)=[G(b)-G(a)]/(b-a),=(e^b-e^a)/(b-a),所以有F'(η)=G'(ξ).而F'(η)=e^η[f(η)+f'(η)],G'(ξ)=e^ξ.
然后整理一下就得证了