（2010•温州二模）已知正△ABC的顶点A在平面α上，顶点B，C在平面α的同一侧，D为BC的中点，若△ABC在平面α上的射影是以A为直角顶点的三角形，则直线AD与平面α所成角的正弦值的范围是（

Question

（2010•温州二模）已知正△ABC的顶点A在平面α上，顶点B，C在平面α的同一侧，D为BC的中点，若△ABC在平面α上的射影是以A为直角顶点的三角形，则直线AD与平面α所成角的正弦值的范围是（　　）

A．[(√(6))/(3)，1)
B．[(√(6))/(3)，(√(3))/(2))
C．[(1)/(2)，(√(3))/(2))
D．((1)/(2)，(√(6))/(3)]

Answer 1

设正△ABC边长为1，则线段AD=(√(3))/(2)
设B，C到平面α距离分别为a，b，
则D到平面α距离为h=(a+b)/(2)
射影三角形两直角边的平方分别为1-a²，1-b²，
设线段BC射影长为c，则1-a²+1-b²=c²，（1）
又线段AD射影长为(c)/(2)，
所以（(c)/(2)）²+((a+b)2)/(4)=AD²=(3)/(4)，（2）
由（1）（2）联立解得 ab=(1)/(2)，
所以sinα=(h)/(AD)=(a+b)/(√(3))≥(2√(ab))/(√(3))=(√(2))/(√(3))=(√(6))/(3)，当a=b=(√(2))/(2)时等号成立．
又α是个锐角，当面与面接近于垂直时，等边三角形的射影不可能是直角三角形，正弦值不可能趋近于1，故只能选B．
故选B