单射是不是不一定每个Y都有对应的x单射和满射到底什么联系是单射就一定是满射吗什么情况下不是映射

Question

单射是不是不一定每个Y都有对应的x
单射和满射到底什么联系 是单射就一定是满射吗
什么情况下不是映射

Answer 1

映射要求对集合X中任意的元素x,在集合Y中有唯一的元素y与之对应,注意这里的“任意”和“唯一”,也就是说如果X中某元素在Y中没有元素与之对应,或有两个以上（包括两个）的元素与之对应,这样的对应法则都不是映射.这样的要求是有“实际”意义的,例如某天24小时内温度是关于时间的函数,也就是从时间集合到温度集合的映射,映射的这两条要求就保证了某个时刻不可能没有温度,也不可能有两个温度.而从另一方面来看,映射的要求又是“很宽”的,如果X中两个不同的元素对应着Y中同一元素,或Y中某个元素在X中没有任何一个元素与之对应,这样的情况都是符合映射定义的,它们都是映射,还用刚才温度的例子来解释,其实际意义就是一天内可能有两个时刻温度相同,也可能一天内都没有达到某个温度.单射和满射就是针对这两种情况对映射条件的加强,单射要求X中两个不同的元素不能有相同的像,即如果x1≠x2,则f(x1)≠f(x2),而满射要求Y中任意元素都有原像,即任意y属于Y,存在x属于X,使得f(x)=y.单射和满射是两个对立的概念,没有什么联系,既是单射又是满射的映射,通常称为双射,这是一种用处最广的映射.