如图所示，某一新型发电装置的发电管是横截面为矩形的水平管道，管道的长为L、宽为d、高为h，上下两面是绝缘板．前后两侧面M、N是电阻可忽略的导体板，两导体板与开关S和定值电阻R相

Question

如图所示，某一新型发电装置的发电管是横截面为矩形的水平管道，管道的长为L、宽为d、高为h，上下两面是绝缘板．前后两侧面M、N是电阻可忽略的导体板，两导体板与开关S和定值电阻R相连．整个管道置于磁感应强度大小为B、方向沿z轴正方向的匀强磁场中．管道内始终充满电阻率为ρ的导电液体（有大量的正、负离子），且开关闭合前后，液体在管道进、出口两端压强差的作用下，均以恒定速率v₀沿x轴正向流动，液体所受的摩擦阻力不变．

（1）求开关闭合前，M、N两板间的电势差大小U₀；
（2）求开关闭合前后，管道两端压强差的变化△p；
（3）调整矩形管道的宽和高，但保持其他量和矩形管道的横截面积S=dh不变，求电阻R可获得的最大功率P_m及相应的宽高比(d)/(h)的值．

Answer 1

（1）设带电离子所带的电荷量为q，当其所受的洛伦兹力与电场力平衡时，U₀保持恒定，
有qv₀B=q(U0)/(d)①
解得：U₀=Bdv₀②
（2）设开关闭合前后，管道两端压强差分别为p₁、p₂，
液体所受的摩擦阻力均为f，开关闭合后管道内液体受到的安培力为F_安，
有p₁hd=f③p₂hd=f+F_安④
F_安=BId⑥
根据欧姆定律，有I=(U0)/(R+r)⑥
两导体板间液体的电阻r=ρ(d)/(Lh)⑦
由②③④⑤⑥⑦式得△p=(Ldv0B2)/(LhR+dρ)⑧
（3）电阻R获得的功率为P=I²R⑨
P=((BLv0)/((LR)/(d)+(ρ)/(h)))2R⑩
当(d)/(h)=(LR)/(ρ)时，⑪
电阻R获得的最大功率P_m=(B2LSv20)/(4ρ)
答：（1）开关闭合前，M、N两板间的电势差大小Bdv₀；
（2）开关闭合前后，管道两端压强差的变化(Ldv0B2)/(LhR+dρ)；
（3）调整矩形管道的宽和高，但保持其他量和矩形管道的横截面积S=dh不变，电阻R可获得的最大功率(B2LSv20)/(4ρ)
及相应的宽高比(d)/(h)的值(LR)/(ρ)．