设f(x)在R内有界且可导,证明方程f'(x)(1+x^2)=2xf(x)至少有一个实根

Question

设f(x)在R内有界且可导,证明方程f'(x)(1+x^2)=2xf(x)至少有一个实根

Answer 1

设 g(x)= f(x)/(1+x^2)
于是 g(x) 在R内有界且可导,且 当 |x|-->无穷大时,g(x) --> 0
如果 g(x) 恒等于0,结论显然.
如果 g(x) 不恒等于0,则在|g(x)|的最大值必在某x0处达到.在x0处 必有g‘(x0)=0.
即 f(x)/(1+x^2) 在x=x0处导数为0,取导整理 便得结论.