设A,B为n阶半正定实对称方阵求证:det(A+B)≥det(A)+det(B)希望给出详细证明过程或链接

Question

设A ,B为n阶半正定实对称方阵 求证:det(A+B)≥det(A)+det(B) 希望给出详细证明过程或链接

Answer 1

首先,当A和B都是非正定的半正定阵时,不等式右边为0,显然成立.因此知考虑A B有一个是正定的情形.不妨设A正定.其次,不等式det(E+B)>=det(E)+det(B),E是单位阵.这个不等式的证明只需考虑特征值就可以了.B的特征值是b1,...,bn,则不等式左边是（1+b1)...(1+bn),右边是1+b1...bn,当然 成立.一般情况,令A=C^TC,C可逆,det(A+B)=det(C^T(E+C^(-T)BC^(-1))C)=det(A)*det(E+C^(-T)BC^(-1))>=det(A)(1+det(C^(-T)BC^(-1))=det(A)+det(B)