示波器是一种常用的电学仪器，可以在荧光屏上显示出被检测的电压随时间的变化情况．它的工作原理如图1所示，真空室中阴极K逸出电子（初速度可忽略不计），经过电压Ul=910V的加速电场

Question

示波器是一种常用的电学仪器，可以在荧光屏上显示出被检测的电压随时间的变化情况．它的工作原理如图1所示，真空室中阴极K逸出电子（初速度可忽略不计），经过电压U_l=910V的加速电场后，由小孔S沿正对且相互靠近的水平金属极板A、B 和竖直金属板C、D 间的中心线依次通过两对平行金属板间．且已知A、B和C、D的长度均为l=0.20m，A、B和C、D两板间的距离均为d=0.020m，金属板的面积足够大．在A、B两板间加上如图2所示的正弦交变电u₂，当A板电势高于B板电势时，电压记为正值；在C、D两板间加上如图3所示的交变电压u₃，当C板电势高于D板电势时，电压记为正值．两对金属板间的电场可视为全部集中在两板之间，且分布均匀．在C、D 两极板右侧与极板右端相距s=0.30m处有一个与两对金属板中心线垂直的荧光屏，中心线正好经过屏的中点．若不计两对金属板之间的距离，且荧光屏足够大，并已知电子的质m=0.91×10^-30kg，所带电荷量e=1.6x10^-19C，不计电子之间的相互作用力．

（1）要使所有的电子都能打在荧光屏上，两对偏转金属板间所加电压的最大值U₂₀、U₃₀应满足什么条件？
（2）若U₂₀满足（1）中的条件，要使荧光屏上能显示出u₂ 的若干个完整周期内的波形，C、D 两板间所加交变电压u₃ 的周期应满足什么条件？
（3）若荧光屏上显示出一个u₂ 完整的波形，计算这个波形的峰值高度和最大长度，并在图4中画出这个波形．

Answer 1

（1）对于电子在加速电场中的加速过程，设最终的速度为v₀，则由动能定理有：eU₁=(1)/(2)m

v

2 0

解得 v₀=√((2eU1)/(m))=√((2×1.6×10-19×910)/(9.1×10-31))=1.8×10⁷m/s
电子穿越金属板的时间 t=(l)/(v0)=(l)/(v0)=(0.2)/(1.8×107)s=1.1×10^-8s
由于电子在金属板间的运动时间远小于偏转电场u₂变化的周期，
所以电子通过两对金属板的过程中，电场可视为场强为定值的匀强电场
要使所有的电子都能打在荧光屏上，最大侧移必须必须满足：y＜(d)/(2)
又电子在A、B板间运动的加速度为  a=(eU20)/(md)
电子在电场方向做匀加速直线运动，则有 y=(1)/(2)at2
联立得：y=(eU20l2)/(2mdv20)＜(d)/(2)
解得 U₂₀＜(2d2U1)/(l2)=(2×0.022×910)/(0.2)V=18.2V
同理可得：U₃₀＜18.2V；
（2）要使荧光屏上能显示u₂完整的波形，C、D两板间所加交变电压u₃的周期应为偏转电压u₂周期的整数倍，即 T=2n×10^-2 s（n，1，2，3…）；
（3）对于确定的U₂₀=18.2V，电子在两板间的最大侧移为 y_m=(d)/(2)=1cm
电子飞出A、B间的偏转电场时，其速度的反向延长线通过偏转电场的中心，设电子打在屏上距中心点沿竖直方向的最大距离（波形的峰值）为Y_m，则由几何关系可知：
  (Ym)/(ym)=(s+l+(1)/(2)l)/((1)/(2)l)
解得：Y_m=6cm
同理，电子在通过C、D偏转板的过程中，沿水平方向的最大侧移为 x_m=(d)/(2)=1cm
设电子打在屏上距中心点水平方向的最大距离为X_m，则由几何关系可知：
  (Xm)/(xm)=(s+(l)/(2))/((l)/(2))
解得：X_m=4cm
波形为正弦曲线．波形如图所示．　　
答：
（1）要使所有的电子都能打在荧光屏上，两对偏转金属板间所加电压的最大值U₂₀、U₃₀应满足的条件分别为：U₂₀＜18.2V，U₃₀＜18.2V．
（2）要使荧光屏上能显示出u₂ 的若干个完整周期内的波形，C、D 两板间所加交变电压u₃ 的周期应满足的条件为：T=2n×10^-2s（n=1，2，3…）；
（3）这个波形的峰值高度和最大长度分别为4cm和6cm，波形如图所示．