已知函数f（x）=lnx-a（x2-x）（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在[1，2]的最大值．

Question

已知函数f（x）=lnx-a（x²-x）（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在[1，2]的最大值．

Answer 1

（本小题满分14分）
（I）当a=1时  f（x）=lnx-x²+xf′(x)＝(1)/(x)−2x+1…．（3分）
∴f（1）=0，f′（1）=0即：所求切线方程为：y=0…．（6分）
（II）∵f′(x)＝(1)/(x)−2ax+a＝(−2ax2+ax+1)/(x)，x＞0
∴当a=0时，f′（x）＞0，
f（x）在[1，2]上递增
∴f（x）_max=f（2）=ln2…．（7分）
当a≠0时 可令g（x）=-2ax²+ax+1，x∈[1，2]．
∵g（x）的对称轴x＝(1)/(4)且过点（0，1）
∴当a＜0时，f′（x）＞0在[1，2]恒成立，
f（x）在[1，2]上递增
∴f（x）_max=f（2）=ln2-2a…．（9分）
当a＞0时，
若g（1）≤0，即：a≥1时，f′（x）＜0在[1，2]恒成立，
f（x）在[1，2]上递减，
∴f（x）_max=f（1）=0…．（10分）
若g（1）＞0，g（2）＜0，即：(1)/(6)＜a＜1时，f′（x）在[1，(a+√(a2+8a))/(4a))上大于零，
在((a+√(a2+8a))/(4a)，2]上小于零f（x）在[1，(a+√(a2+8a))/(4a))上递增，
在((a+√(a2+8a))/(4a)，2]上递减，
∴f(x)max＝f((a+√(a2+8a))/(4a))＝ln(a+√(a2+8a))/(4a)+(√(a2+8a)+a−4)/(8)…．（12分）
若g（1）＞0，g（2）≥0，即：0＜a≤(1)/(6)时，f′（x）＞0在[1，2]恒成立，
 f（x）在[1，2]上递增，
∴f（x）_max=f（2）=ln2-2a…．（13分）
综上：f(x)max＝

ln2−2a，a≤(1)/(6)

ln(a+√(a2+8a))/(4a)+(√(a2+8a)+a−4)/(8)，(1)/(6)＜a＜1

0，a≥1

…．（14分）