有一海湾，海岸线为近似半个椭圆（如图），椭圆长轴端点为A，B，AB间距离为3km，椭圆焦点为C，D，CD间距离为2km，在C，D处分别有甲，乙两个油井，现准备在海岸线上建一度假村P，不考虑

Question

有一海湾，海岸线为近似半个椭圆（如图），椭圆长轴端点为A，B，AB间距离为3km，椭圆焦点为C，D，CD间距离为2km，在C，D处分别有甲，乙两个油井，现准备在海岸线上建一度假村P，不考虑风向等因素影响，油井对度假村废气污染程度与排出废气的浓度成正比（比例系数都为k₁），与距离的平方成反比（比例系数都为k₂），又知甲油井排出的废气浓度是乙的8倍．
（1）设乙油井排出的浓度为a（a为常数）度假村P距离甲油井xkm，度假村P受到甲乙两油井的污染程度和记为f（x），求f（x）的表达式并求定义域；
（2）度假村P距离甲油井多少时，甲乙两油井对度假村的废气污染程度和最小？

Answer 1

（1）由点P在椭圆上，知|PC|+|PD|=3，设|PC|=x，则|PD|=3-x．
P点受甲油井污染程度为(8ak1k2)/(x2)，P点受乙油井污染程度为(ak1k2)/((3−x)2)
污染程度和为f(x)＝(8ak1k2)/(x2)+(ak1k2)/((3−x)2)，定义域为[(1)/(2)，(5)/(2)]
（2）令f(x)＝(8ak1k2)/(x2)+(ak1k2)/((3−x)2)=ak₁k₂（(8)/(x2)+(1)/(9−6x+x2)），
求导函数，可得f′（x）=18ak₁k₂×((x−2)(x2−6x+12))/(x3(3−x)3)
令f′（x）=0，解得x=2．
当x∈((1)/(2)，2)时，f′（x）＜0，函数为减函数；当x(2，(5)/(2))时，f′（x）＞0，函数为增函数； 
当x=2时，f（x）取得最小值．
答，度假村距离甲油井2km时，甲、乙两油井对度假村的废气污染程度和最小．