设二次型f（x1，x2，x3）=XTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3（b＞0），其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．（1）求a，b的值；（2）利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交

Question

设二次型f（x₁，x₂，x₃）=X^TAX=ax₁²+2x₂²-2x₃²+2bx₁x₃（b＞0），其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．
（1）求a，b的值；
（2）利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

Answer 1

（1）
二次型f的矩阵为：A＝

a	0	b
0	2	0
b	0	−2

，
设A的特征值为λ_i（i=1，2，3）．
由题设，有：λ₁+λ₂+λ₃=a+2+（-2）=1，λ₁λ₂λ₃=

.

a	0	b
0	2	0
b	0	−2

.

=-4a-2b²=-12．
解得：a=1，b=-2．

（2）
由矩阵A的特征多项式：

.

λE−A

.

=

.

λ−1	0	−2
0	λ−2	0
−2	0	λ+2

.

=（λ-2）²（λ+3），
可得A的特征值为：λ₁=λ₂=2，λ₃=-3．
①对于λ₁=λ₂=2，解齐次线性方程组（2E-A）x=0，得其基础解系：ξ1＝(2，0，1)T，ξ2＝(0，1，0)T．
②对于λ₃=-3，解齐次线性方程组（3E-A）x=0，得基础解系：ξ3＝(1，0，−2)T．
由于ξ₁，ξ₂，ξ₃已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将ξ

作业帮用户 2016-12-15