如图所示是建筑工地常用的一种“深穴打夯机”．工作时，电动机带动两个紧压夯杆的滚轮匀速转动将夯从深为h的坑中提上来，当两个滚轮彼此分开时，夯杆被释放，最后夯在自身重力作用

Question

如图所示是建筑工地常用的一种“深穴打夯机”．工作时，电动机带动两个紧压夯杆的滚轮匀速转动将夯从深为h的坑中提上来，当两个滚轮彼此分开时，夯杆被释放，最后夯在自身重力作用下，落回深坑，夯实坑底．然后，两个滚轮再次压紧，夯杆再次被提上来，如此周而复始工作．已知两个滚轮边缘线速度v恒为4m/s，每个滚轮对夯杆的正压力F_N=2×10⁴N，滚轮与夯杆间的动摩擦因数为0.3，夯杆质量m为1×10³kg，坑深h为6m．假定在打夯的过程中坑的深度变化不大，且夯杆底端升到坑口时，速度正好为零，取g=10m/s²，求：
（1）每个打夯周期中，电动机对夯杆所作的功．
（2）夯杆上升过程中被滚轮释放时夯杆底端离坑底多高；
（3）打夯周期．

Answer 1

（1）夯杆在上升过程中只有电动机和重力对夯杆做功，根据动能定理有：
W+W_G=0
解得，电动机所做的功：
W=-W_G=-mg（-h）=mgh=1×10³×10×6.4=6.4×10⁴J
夯杆下落过程中只有重力做功电动机不做功，故一个打夯周期中电动机对夯杆做功为6.4×10⁴J
（2）夯杆在上升过程中，对夯杆进行受力分析知，夯杆所受摩擦力为：f₁=2μF_N=2×0.3×2×2×104N=1.2×10³N；
夯杆产生加速度为：a₁=(f1−mg)/(m)=(1.2×104−1×104)/(1×103)=2m/s2
当夯杆与滚轮相对静止时：v=a₁t₁=4m/s，t₁=2s，h₁=(1)/(2)a₁t₁²=4m
当夯杆以v=4m/s的初速度竖直上抛，上升高度为：h₂=(v2)/(2g)=0.8m
则当夯杆加速向上运动速度到达v=4m/s后，夯杆匀速上升，匀速上升高度为：h₃=h-h₁-h₂=1.6m
因此，夯杆先匀加速上升，后匀速上升，再竖直上抛．
故夯杆上升过程中被滚轮释放时的速度为4m/s；
此时夯杆底端离夯底为：△h=h-h₂=5.2m．
（3）夯杆上抛运动的时间为：t₂=(v)/(g)=(4)/(10)=0.4s；
夯杆匀速上升的时间为：t₃=(h3)/(v)=(1.6)/(4)=0.4s；
由h=(1)/(2)gt₄²可得：
夯杆自由落体的时间为：t₄=√((2h)/(g))=√((2×6.4)/(10))=1.13s
故打夯周期为：T=t₁+t₂+t₃+t₄=2+0.4+0.4+1.13=3.93s
答：（1）每个打夯周期中，电动机对夯杆所作的功6.4×10⁴J；
（2）夯杆上升过程中被滚轮释放时的速度为4m/s，此时夯杆底端离夯底5.6m；
（3）打夯周期为3.93s．