等差数列an=4-4/an-1求证1/an-2是等差数列

Question

等差数列an=4-4/an-1 求证1/an-2 是等差数列

Answer 1

题目有问题,原题应该不是这样的,如果没有给出a1的值的话,至少要规定a1≠2,否则1/(an -2)就没有意义了,如果真没有上述的已知条件,那题目就是个错题.
下面证明的过程按有已知条件“a1≠2”进行证明.
证：
an=4- 4/a(n-1)=[4a(n-1)-4]/a(n-1)
an -2=[4a(n-1)-4-2a(n-1)]/a(n-1)=[2a(n-1)-4]/a(n-1)=2[a(n-1)-2]/a(n-1)
1/(an -2)=a(n-1)/2[a(n-1)-2]=[a(n-1)-2+2]/2[a(n-1)-2]=1/2 +1/[a(n-1)-2]
1/(an -2)-1/[a(n-1) -2]=1/2,为定值.
a1≠2,数列{1/(an -2)}是以1/(a1-2)为首项,1/2为公差的等差数列.