荡秋千是一项古老的运动，设某人的质量为m，身高为H，站立时重心离脚底H/2，蹲下时重心离脚底H/4，绳子悬挂点到踏板的绳长为6H，绳子足够柔软且不可伸长，绳子和踏板的质量不计，人身

Question

荡秋千是一项古老的运动，设某人的质量为m，身高为H，站立时重心离脚底H/2，蹲下时重心离脚底H/4，绳子悬挂点到踏板的绳长为6H，绳子足够柔软且不可伸长，绳子和踏板的质量不计，人身体始终与绳子保持平行，重力加速度为g．
（1）若该人在踏板上保持站式，由伙伴将其推至摆角θ₀弧度，由静止释放，忽略空气阻力，求摆至最低点时绳中的拉力大小；
（2）若该人在踏板上保持站式，由伙伴将其推至摆角θ₁弧度，由静止释放，摆至另一侧最大摆角为θ₂弧度，设空气阻力大小恒定，作用点距离脚底为H/3，求空气阻力的大小．
（3）若该人在踏板上采取如下步骤：当荡至最高处时，突然由蹲式迅速站起，而后缓缓蹲下，摆至另一侧最高处时已是蹲式，在该处又迅速站起，之后不断往复，可以荡起很高．记此法可以荡起的最大摆角为θ_m 弧度，假设人的“缓缓蹲下”这个动作不会导致系统机械能的损耗，而且空气阻力大小和作用点与第（2）问相同，试证明：(θm)/(cosθm)＝(θ1+θ2)/(44(cosθ2−cosθ1))．

Answer 1

（1）设荡至最低点时速度为v，则由机械能守恒定律有
(1)/(2)mv2＝mg(6H−(H)/(2))(1−cosθ0)
设拉力为F，则由牛顿第二定律
F−mg＝m(v2)/(6H−(H)/(2))
求得F=3mg-2cosθ₀
即摆至最低点时绳中的拉力大小3mg-2cosθ₀．
（2）全程损耗的机械能为
△E机＝mg(6H−(H)/(2))(cosθ2−cosθ1)
空气阻力做的功为
Wf＝−f(6H−(H)/(3))(θ1+θ2)
由功能关系有W_f=△E_机
求得f＝(33(cosθ1−cosθ2))/(34(θ1+θ2))mg
即空气阻力的大小为(33(cosθ1−cosθ2))/(34(θ1+θ2))mg．
（3）在一个周期内，通过“迅速站起”获得的机械能（重力势能）是△E机＝2mg((H)/(2)−(H)/(4))cosθ m
空气阻力做的功是Wf＝−4f(6H−(H)/(3))θm
由功能关系有W_f=△E_机
求得(θm)/(cosθm)＝(θ1+θ2)/(44(cosθ2−cosθ1))，得证．