在△ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，已知atanA-ccosB=bcosC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设AD是BC边上的高，若AD=12a，求bc的值．

Question

在△ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，已知atanA-ccosB=bcosC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设AD是BC边上的高，若AD=(1)/(2)a，求(b)/(c)的值．

Answer 1

（Ⅰ）∵atanA-ccosB=bcosC，
∴由正弦定理得，sinAtanA-sinCccosB=sinBcosC，
sinAtanA=sinCccosB+sinBcosC=sin（B+C），
∵B+C=π-A，∴sin（B+C）=sinA，则sinAtanA=sinA，
又sinA≠0，则tanA=1，
由0(π)/(4)；
（Ⅱ）又sinA≠0，则tanA=1，
由0<A<π得，A=(π)/(4)；
（Ⅱ）∵AD是BC边上的高，且AD=(1)/(2)a，
∴△ABC的面积S=(1)/(2)×a×(1)/(2)a=(1)/(2)bcsinA，则a2=√(2)bc，
由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
化简得b2+c2-2√(2)bc=0，
两边同除c²可得，((b)/(c))2-2√(2)•(b)/(c)+1=0，
解得(b)/(c)=√(2)±1．