因式分解是怎么算的关于因式分解,我不是很了解,老师讲得不是很清楚,所以想请高人指点

Question

因式分解是怎么算的
关于因式分解,我不是很了解,老师讲得不是很清楚,所以想请高人指点

Answer 1

因式分解,也叫分解因式,
是把多项式,变成一个个式子相乘的形式；
如果需要示意图,就看看汉字 “目”、“月” 和 “朋”、“用”,
“月” 和 “目” 就是长为 3,宽分别是 a、b 的两个长方形,
写成 3a + 3b 像 “朋” 就是一个两项式,
如果 “月” 和 “目” 拼成一个 “用”,就是 3(a + b) 的一个长方形,
把 3a + 3b 两项相加的式子变成 3(a+b) 乘积的式子就是因式分解.
分解因式最简单的方法,就是提公因式,
不过要注意,公因式不仅是系数、字母,还会是一个式子,例如
(a+b)(3m+2n) + (2m+3n)(a+b),公因式是 (a+b)
= (a+b)( 3m + 2n + 2m + 3n )
= (a + b)( 5m + 5n ) 这样再提系数 5
= 5( a + b )( m + n )
公式法,
就是平方差、完全平方、立方和、立方差的公式倒过来用
a" - b" = (a - b)(a + b)
a" + 2ab + b" = (a + b)"
a" - 2ab + b" = (a - b)"
a"' + b"' = (a + b)(a" - ab + b")
a"' - b"' = (a - b)(a" + ab + b")
分组分解法,十字相乘法,
公式就是 x" + ( a + b )x + ab = ( x + a )( x + b )
两个方法最好结合起来用,
二次三项式,先把一次项一分为二,
接下来把四个项,分开两组提公因式,做起来就轻松多了；
Q 关键是一次项怎样一分为二,就由常数项的正负来决定,
先看看完全平方式,把 2ab 拆开两个 ab 做起来也觉得更加可靠.
例如
x" + 10x + 25
= x" + 5x + 5x + 25
= x( x + 5 ) + 5( x + 5 )
= ( x + 5 )"
这样也看到,完全平方式的 b" 必然是正数
x" - 10x + 25
= x" - 5x - 5x + 25
= x( x - 5 ) - 5( x - 5 )
= ( x - 5 )"
Q 如果常数项是正数,
一次项就是拆开两个绝对值比原来小的两个项；
x" + 10x + 24
= x" + 4x + 6x + 24
= x( x + 4 ) + 6( x + 4 )
= ( x + 4 )( x + 6 )
常数项 24 不变,一次项 ± 10x 就都是拆开 4x 与 6x,还有
x" - 10x + 24
= x" - 4x - 6x + 24
= x( x - 4 ) - 6( x - 4 )
= ( x - 4 )( x - 6 )
Q 中间一次项不变,常数项的绝对值也不变,
只要常数项变成相反数,一次项就要改变一分为二的方式
x" - 10x - 24
= x" - 12x + 2x - 24
= x( x - 12 ) + 2( x - 12 )
= ( x + 2 )( x - 12 )
常数项 -24 不变,一次项 ± 10x 就都是拆开 2x 与 12x,还有
x" + 10x - 24
= x" + 12x - 2x - 24
= x( x + 12 ) - 2( x + 12 )
= ( x - 2 )( x + 12 )
Q 如果常数项是负数,
一次项系数就是分开两个项的相差数；
看到了吧,一次项和常数项,绝对值都是 10x 和 24,
分解因式却有 4 种结果,会不会看得晕头转向呢?
怎么办?只要这样一步一步地写出来,就肯定不会出错了.
x" ± 5x ± 6
x" ± 10x ± 24
x" ± 15x ± 54
x" ± 20x ± 96
x" ± 25x ± 150
都是这样有 4 种结果,
使用这个分解因式的方法,你自己也试一试吧.
只要熟悉这个方法,就连二次项系数不是 1 也同样方便,
例如
4x" - 31x - 45
对着 31,我们恐怕不知道怎样分开两项
可是看到 -45,我们都会想到 4X9=36,5X9=45,那么
= 4x" - 36x + 5x - 45
= 4x( x - 9 ) + 5( x - 9 )
= ( x - 9 )( 4x + 5 )
或者
= 4x" + 5x - 36x - 45
= x( 4x + 5 ) - 9( 4x + 5 )
= ( x - 9 )( 4x + 5 )