已知3元齐次线性方程（1）X1+X2-X3=0(2)2X1+3X2+aX3=0(3)X1+2X2+3X3=0有非零解,则a=?要具体过

Question

已知3元齐次线性方程（1）X1+X2-X3=0 (2)2 X1+3 X2+a X3=0 (3) X1+2 X2+3 X3=0 有非零解,则a= ? 要具体过

Answer 1

由增广矩阵得
x1＝－2x4－Mx5＋1
x2＝x4－Mx5＋2
x3＝－2x4－M/2×x5＋3
令x4＝x5＝0,得x1＝1,x2＝2,x3＝3,所以,x＝(1,2,3,0,0)'是非齐次方程组的一个解
再求对应的齐次方程组的通解,由
x1＝－2x4－Mx5
x2＝x4－Mx5
x3＝－2x4－M/2×x5
我们可取x4和x5作为自由未知量,令x4＝1,x5＝0,得x1＝－2,x2＝1,x3＝－2,则x＝(-2,1,-2,1,0)'是齐次方程组的一个解；令x4＝0,x5＝1,得x1＝－M,x2＝－M,x3＝－M/2,则x＝(-M,-M,-M/2,0,1)'是齐次方程组的另一个解. 这两个解线性无关,所以x＝C1(-2,1,-2,1,0)'＋C2(-M,-M,-M/2,0,1)'就是对应的齐次方程组的通解
所以,原方程组的通解是x＝(1,2,3,0,0)'＋C1(-2,1,-2,1,0)'＋C2(-M,-M,-M/2,0,1)'
－－－说明－－－
1、上面的'表示向量的转置
2、求解齐次方程组时,自由未知量的选择是不唯一的,所以最后得到的非齐次方程组的通解的表示形式也是不唯一的