微分方程.多元的如果一个微分方程中含有三个变量能够用类似偏导数的偏积分（就是分别积分）来解吗?

Question

微分方程.多元的
如果一个微分方程中含有三个变量能够用类似偏导数的偏积分（就是分别积分）来解吗?

Answer 1

能用微积分的方法求出其通解或通积分的常微分方程.常微分方程的通解,粗略地说就是：①它把未知函数y表示为自变量x的显函数的形式y=φ(x),此函数满足该微分方程.②在此表达式中含有一些任意常数,其个数恰等于方程的阶数.当这些常数任意变动时即能得到方程的所有解,除了少数解是例外.③表达式适用于全空间,或至少不是局部的而是大范围的.如果在这定义中不要求①成立,即在所得的表达式中未知函数可能是自变量的隐函数形式φ(x,y)=0,则称此表达式为通积分.通解（或通积分）的严格定义,实际上就是进一步把条件②的后半部作严格的叙述,即要求：对于该表达式所适用的区域中任意给定的初始条件,必能找到任意常数的一组确定的值,使得这组值所对应的解（或积分）能够满足这个初始条件.
　　出现于方程中的变量x、y可以是实变量,也可以是复变量.一个解y＝φ(x)或积分φ(x,y)=0在(x,y)空间中的轨迹称为方程的积分曲线.当（x,y）为实数时,积分曲线就是（x,y）平面上的曲线.当（x,y）为复数（x=x1+ix2,y=y1+iy2）时,积分曲线是四维实空间（x1,x2,y1,y2）中的二维曲面.通解或通积分的轨迹称为积分曲线族.要求一个解或积分满足已给的初始条件,就是要求由它所确定的积分曲线通过预先给定的一点.
　　下面根据方程形式的不同,或阶数与个数的不同,分别作简要的介绍：
　　可分离变量的方程 　形如
(1)
的一阶方程称为可分离变量的方程,当 2(y)g1(x)≠0时,(1)可化为变量已分离的方程
两边求积分,即得通积分
(2)
式中C为任意常数.如能由(2)解出
,(3)
则称之为(1)的通解.(2)或 (3)满足上述对通解或通积分要求.除此以外,还必须再补上使?2(y)=0的一个或多个的常数解y呏yi,以及使g1(x)=0的常数解x呏xj,这些常数解有时能由(2)中令C=0 或1/C=0得到,有时则不能.例如,在用分离变量法求解方程 时丢掉的解y=±1不能包含在通解 y=sin(x+C)之中.这一类丢掉的解往往是奇解.所谓奇解就是在其上处处破坏初值问题惟一性的解（见常微分方程初值问题）.
　　有些看上去是不能分离变量的方程,通过变量代换可以化为可分离变量的方程来求解.最常遇到的是齐次常微分方程
　　　　　　　　(4)
它可借代换y=ux而化为
这里应注意,一般讲,x=0并非(4)的解.还有一些方程,例如,方程 经代换y=x+u,方程 经两次代换y3=v及v=ux,均可化为可分离变量的方程.不过用这种方法有时并非易事,也并不一定都能办到.
　　一阶线性方程 　形如
(5)
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