（2012•北京）图是一种新型吊运设备的简化模型示意图，图中虚线框里是滑轮组（未画出），滑轮组绳子的自由端由电动机拉动．工人师傅用该吊运设备先后搬运水平地面上的圆柱形物体A

Question

（2012•北京）图是一种新型吊运设备的简化模型示意图，图中虚线框里是滑轮组（未画出），滑轮组绳子的自由端由电动机拉动．工人师傅用该吊运设备先后搬运水平地面上的圆柱形物体A和物体B．物体A的底面积为S_A，密度为ρ_A，高度为h₁；物体B的底面积为S_B，密度为ρ_B，高度为h₂．当物体A所受竖直向上拉力T₁为1500N时，物体A静止，地面对物体A的支持力为N₁，挂在滑轮组挂钩上的物体A匀速竖直上升4m的过程中，电动机对滑轮组绳子自由端的拉力为F₁，拉力F₁做的功为W．当物体B所受竖直向上的拉力T₂为1000N时，物体B静止，地面对物体B的支持力为N₂．挂在滑轮组挂钩上的物体B以速度v匀速竖直上升的过程中，电动机对滑轮组绳子自由端的拉力F₂为625N，拉力F₂做功的功率P为500W，滑轮组的机械效率为80%．已知：N₁=2N₂，5S_A=4S_B，8ρ_A=7ρ_B，2h_A=5h_B，不计绳的质量，不计滑轮与轴的摩擦．求：
（1）物体B匀速上升的速度v：
（2）拉力F₁做的功W．

Answer 1

物体A和物体B在竖直方向受三个力的作用，竖直向上的拉力和支持力，竖直向下的重力．如图所示：

（1）∵物体A的底面积为S_A，密度为ρ_A，高度为h₁；物体B的底面积为S_B，密度为ρ_B，高度为h₂，
∴物体A的重力为：G_A=ρ_As_Ah_Ag；物体B的重力为：G_B=ρ_Bs_Bh_Bg，
而物体A和物体B静止，
∴G_A=T₁+N₁，G_B=T₂+N₂，
而T₁=1500N，T₂=1000N，
即：ρ_As_Ah_Ag=1500N+N₁①，ρ_Bs_Bh_Bg=1000N+N₂②，
则(①)/(②)=(ρAsAhAg)/(ρBsBhBg)=(1500N+N1)/(1000N+N2)，
而N₁=2N₂，5S_A=4S_B，8ρ_A=7ρ_B，2h_A=5h_B，
解得：N₁=2000N，N₂=1000N，G_A=3500N，G_B=2000N；
∵绳子自由端的拉力F₂=625N，η=80%，
∴η=(W有用)/(W总)=(GB)/(nF2)=(2000N)/(n×625N)=80%，
解得：n=4．
又∵拉力F₂做功的功率P=500W，
由公式P=Fv得，
∴绳子自由端运动的速度为：v_绳=(P)/(F2)=(500W)/(625N)=0.8m/s，
则物体B匀速上升的速度为：v=(1)/(4)v_绳=(1)/(4)×0.8m/s=0.2m/s．
（2）∵n=4，拉力F₂=625N，G_B=2000N，
∴由公式F=(1)/(n)（G_物+G_动）可得：
动滑轮的重力为；G_动=4F₂-G_B=4×625N-2000N=500N，
而G_A=3500N，
∴提升重物A时绳子自由端的拉力为：F₁=(1)/(4)×（G_A+G_动）=(1)/(4)×（3500N+500N）=1000N，
而物体A上升的高度为：h=4m，
则绳子自由端移动的距离为：s=4h=4×4m=16m，
∴拉力F₁做的功为：W=F₁s=1000N×16m=16000J．
答：（1）物体B匀速上升的速度v为0.2m/s．
（2）拉力F₁做的功W为16000J．