设x,y,z都是正数,且3^x=4^y=6^z,求证：1/z-1/x=1/2y∵x,y,z都是正数,且3^x=4^y=6^z∴lg(3^x)=lg(4^y)=lg(6^z)即：xlg3=ylg4=zlg6设xlg3=ylg4=zlg6=k则x=k/lg3,y=k/lg4,z=k/lg61/z-1/x=1/(k/lg6)-1/(k/lg3)=lg6/k-lg3/k=(lg6-lg3)/k=lg2/k

Question

设x,y,z都是正数,且3^x=4^y=6^z,求证：1/z-1/x=1/2y
∵x,y,z都是正数,且3^x=4^y=6^z
∴lg(3^x)=lg(4^y)=lg(6^z)
即：xlg3=ylg4=zlg6
设xlg3=ylg4=zlg6=k
则x=k/lg3,y=k/lg4,z=k/lg6
1/z-1/x
=1/(k/lg6)-1/(k/lg3)
=lg6/k-lg3/k
=(lg6-lg3)/k
=lg2/k
1/2y
=1/(2k/lg4)
=lg4/(2k)
=2lg2/(2k)
=lg2/k
∴1/z-1/x=1/2y得证
但是要比较3x,4y,6z的大小,怎么比?
重点在问题的最后一行!

Answer 1

既然已推断出：x=k/lg3,y=k/lg4,z=k/lg6 .
但是粗略的比较下三个数,分母都不一样,那么求差比较大小是比较复杂的事情；而他们的分子都是k,所以比较3x,4y,6z的大小,我们可以从其倒数来考虑.
则1/3x=lg3/3k,1/4y=lg4/4k,1/6z=lg6 /6k.分别求差得：
1/3x-1/4y=lg3/3k-lg4/4k=（4lg3-3lg4）/12k,因为（4lg3-3lg4）为大于0的数,且k亦大于0,所以1/3x-1/4y>0,由此可推3x