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设x,y,z都是正数,且3^x=4^y=6^z,求证:1/z-1/x=1/2y∵x,y,z都是正数,且3^x=4^y=6^z∴lg(3^x)=lg(4^y)=lg(6^z)即:xlg3=ylg4=zlg6设xlg3=ylg4=zlg6=k则x=k/lg3,y=k/lg4,z=k/lg61/z-1/x=1/(k/lg6)-1/(k/lg3)=lg6/k-lg3/k=(lg6-lg3)/k=lg2/k
题目详情
设x,y,z都是正数,且3^x=4^y=6^z,求证:1/z-1/x=1/2y
∵x,y,z都是正数,且3^x=4^y=6^z
∴lg(3^x)=lg(4^y)=lg(6^z)
即:xlg3=ylg4=zlg6
设xlg3=ylg4=zlg6=k
则x=k/lg3,y=k/lg4,z=k/lg6
1/z-1/x
=1/(k/lg6)-1/(k/lg3)
=lg6/k-lg3/k
=(lg6-lg3)/k
=lg2/k
1/2y
=1/(2k/lg4)
=lg4/(2k)
=2lg2/(2k)
=lg2/k
∴1/z-1/x=1/2y得证
但是要比较3x,4y,6z的大小,怎么比?
重点在问题的最后一行!
∵x,y,z都是正数,且3^x=4^y=6^z
∴lg(3^x)=lg(4^y)=lg(6^z)
即:xlg3=ylg4=zlg6
设xlg3=ylg4=zlg6=k
则x=k/lg3,y=k/lg4,z=k/lg6
1/z-1/x
=1/(k/lg6)-1/(k/lg3)
=lg6/k-lg3/k
=(lg6-lg3)/k
=lg2/k
1/2y
=1/(2k/lg4)
=lg4/(2k)
=2lg2/(2k)
=lg2/k
∴1/z-1/x=1/2y得证
但是要比较3x,4y,6z的大小,怎么比?
重点在问题的最后一行!
▼优质解答
答案和解析
既然已推断出:x=k/lg3,y=k/lg4,z=k/lg6 .
但是粗略的比较下三个数,分母都不一样,那么求差比较大小是比较复杂的事情;而他们的分子都是k,所以比较3x,4y,6z的大小,我们可以从其倒数来考虑.
则1/3x=lg3/3k,1/4y=lg4/4k,1/6z=lg6 /6k.分别求差得:
1/3x-1/4y=lg3/3k-lg4/4k=(4lg3-3lg4)/12k,因为(4lg3-3lg4)为大于0的数,且k亦大于0,所以1/3x-1/4y>0,由此可推3x
但是粗略的比较下三个数,分母都不一样,那么求差比较大小是比较复杂的事情;而他们的分子都是k,所以比较3x,4y,6z的大小,我们可以从其倒数来考虑.
则1/3x=lg3/3k,1/4y=lg4/4k,1/6z=lg6 /6k.分别求差得:
1/3x-1/4y=lg3/3k-lg4/4k=(4lg3-3lg4)/12k,因为(4lg3-3lg4)为大于0的数,且k亦大于0,所以1/3x-1/4y>0,由此可推3x
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