（2013•宝应县一模）如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ与水平面的夹角为α=30°，导轨电阻不计，导轨处在垂直导轨平面斜向上的有界匀强磁场中．两根电阻都为R=2Ω、质量都

Question

（2013•宝应县一模）如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ与水平面的夹角为α=30°，导轨电阻不计，导轨处在垂直导轨平面斜向上的有界匀强磁场中．两根电阻都为R=2Ω、质量都为m=0.2kg的完全相同的细金属棒ab和cd垂直导轨并排靠紧的放置在导轨上，与磁场上边界距离为x=1.6m，有界匀强磁场宽度为3x=4.8m．先将金属棒ab由静止释放，金属棒ab刚进入磁场就恰好做匀速运动，此时立即由静止释放金属棒cd，金属棒cd在出磁场前已做匀速运动．两金属棒在下滑过程中与导轨接触始终良好（取重力加速度g=10m/s²）．求：
（1）金属棒ab刚进入磁场时棒中电流I；
（2）金属棒cd在磁场中运动的过程中通过回路某一截面的电量q；
（3）两根金属棒全部通过磁场的过程中回路产生的焦耳热Q．

Answer 1

（1）由动能定理，得到：mgxsinα=(1)/(2)mv₁²，解得v₁═4m/s
此后棒匀速下滑，根据切割公式，有E=BLv₁
根据欧姆定律，有E=I×2R
根据安培力公式，有F=BIL
根据平衡条件，有：mgsinα=BIL
联立得到：mgsinα=(B2L2v1)/(2R)
解得：BL=1T•m 
又由于BIL=mgsinα，解得I=1A   
（2）设经过时间t₁，金属棒cd也进入磁场，其速度也为v₁，金属棒cd在磁场外有x=(1)/(2)v₁•t₁，此时金属棒ab在磁场中的运动距离为：X=v₁t₁=2x，
两棒都在磁场中时速度相同，无电流，金属棒cd在磁场中而金属棒ab已在磁场外时，cd棒中才有电流，cd棒加速运动的位移为2x；
电量为q=(△Φ)/(2R)=(B•2x•L)/(2R)=(BLx)/(R)=0.8(C)
（3）金属棒ab在磁场中（金属棒cd在磁场外）回路产生的焦耳热为：
Q₁=mgsinα×2x=3.2J 
金属棒ab、金属棒cd都在磁场中运动时，回路不产生焦耳热．两棒加速度均为gsinα，ab离开磁场时速度为v₂，v₂²-v₁²=2gxsinα，
解得v₂=√(4gxsinα)=4√(2)m/s；
金属棒cd在磁场中（金属棒ab在磁场外），金属棒cd的初速度为v₂=4√(2)m/s，末速度为√(2gxsinα)=4m/s，由动能定理：
mgsinα×2x-Q₂=(1)/(2)m（√(2gxsinα)）²-(1)/(2)m（√(4gxsinα)）²
Q₂=mgsinα×3x=4.8J（1分）
Q=Q₁+Q₂=mgsinα×5x=8J
答：（1）金属棒ab刚进入磁场时棒中电流I为1A；
（2）金属棒cd在磁场中运动的过程中通过回路某一截面的电量q为0.8C；
（3）两根金属棒全部通过磁场的过程中回路产生的焦耳热Q为8J．