求圆柱面x^2+y^2=r^2被圆柱面x^2+z^2=r^2所割下部分的面积

Question

求圆柱面x^2+y^2=r^2被圆柱面x^2+z^2=r^2所割下部分的面积

Answer 1

两个圆柱面在8个卦限里面都出现且对称,所以只要求第一卦限部分的面积,再乘以8.
第一卦限内,圆柱面x^2+y^2=r^2的方程是y=√(r^2-x^2),被圆柱面x^2+z^2=r^2割下部分在zox面上的投影区域是D:x^2+z^2≤r^2,x≥0,z≥0.
αy/αz=0,αy/αx=-x/√(r^2-x^2).
所以,所求面积是8∫∫(D) √[1+0+x^2/(r^2-x^2)]dzdx=8r∫∫(D) 1/√(r^2-x^2) dzdx=8r∫(0到r) dx ∫(0到√(r^2-x^2) 1/√(r^2-x^2) dz=8r∫(0到r) dx=8r^2.