行列式Dn=第一行210···000第二行121···000第n-1行000···121第n行000···012求递推公式

Question

行列式Dn=第一行2 1 0···0 0 0第二行1 2 1···0 0 0第n-1行0 0 0···1 2 1第n行0 0 0···0 1 2求递推公式

Answer 1

拆为两个行列式之和
1 1 0 0 ...0 1 1 0 0 ...0
0 2 1 0 ...0 1 2 1 0 ...0
0 1 2 1 ...0 + 0 1 2 1 ...0
0 0 1 2 ...0 0 0 1 2 ...0
............
0 0 0 0 ...2 0 0 0 0 ...2
第一个行列式按第1列展开,第二个行列式c2-c1,c3-c2,…,cn-c(n-1)
= 1 0 0 0...0
2 1 0...0 1 1 0 0...0
1 2 1...0 + 0 1 1 0...0
0 1 2...0 0 0 1 1...0
............
0 0 0...2 0 0 0 0...1
=D(n-1)+1 --此为递归关系
因为D1=2
所以Dn=D(n-1)+1=D(n-2)+1+1=...=D1+(n-1)=n+1