已知abc是三角形的三边长，求证a/(b+c-a)+b/(c+a-b)+c/(a+b-c)≥3别去用网上的方法，自己想一种，要是我觉得好的会给20分

Question

已知abc是三角形的三边长，求证a/(b+c-a)+b/(c+a-b)+c/(a+b-c)≥3
别去用网上的方法，自己想一种，要是我觉得好的会给20分

Answer 1

令u=a/(a+b+c)，v=b/(a+b+c)，s=c/(a+b+c)，则显然u+v+s=1。且不等式左边等于u/(v+s-u)+v/(s+u-v)+s/(u+v-s)，然后有下面的。
u/(v+s-u)+v/(s+u-v)+s/(u+v-s)
=[u/(1-2u)+v/(1-2v)+s/(1-2s)]
=[(u-1/2+1/2)/(1-2u)+(v-1/2+1/2)/(1-2v)+(s-1/2+1/2)/(1-2s)]
=[(-1/2)+1/2(1-2u)+(-1/2)+1/2(1-2v)+(-1/2)+1/2(1-2s)]
=-3/2+1/2*[1/(1-2u)+1/(1-2v)+1/(1-2s)]
=-3/2+1/2*(u+v+s)*[1/(1-2u)+1/(1-2v)+1/(1-2s)]（此步用了u+v+s=1）
=-3/2+1/2*(1-2u+1-2v+1-2s)*[1/(1-2u)+1/(1-2v)+1/(1-2s)]，此步将u+v+s拆成了1=3-2*1=3*(u+v+s)-2*(u+v+s)最后再利用柯西不等式此式大于等于-3/2+1/2*[(1-2u)*1/(1-2u)+(1-2v)*1/(1-2v)+(1-2s)*1/(1-2s)]^2=-3/2+1/2*9=3。

貌似很复杂的证明但仔细观察其实很有帮助。像此种题目，非常得对称，一般就应该考虑“补全”使其各部分有相同的式子（如u+v+s），然后用技巧“拆”将u+v+s拆成(u+v-s)+(v+s-u)+(s+u-v)目的是为使用柯西不等式时左式正好可以约掉右式分母。
最后，我一开始还用了一技巧“齐次化”因为这里a，b，c的和不为1，如果能使其为1就能使题目变简单。所以技巧是如果除以a+b+c后要证的东西没有变化就没问题。