球A从高H处自由下落,与此同时,在球A正下方的地面上,B球以初速度V0竖直上抛,不计空气阻力,设VO=40m/s,g=10m/s2,试问：1若要在B球上升时两球相遇,或要在B球下落时两球相遇,则H的取值范围各是多

Question

球A从高H处自由下落,与此同时,在球A正下方的地面上,B球以初速度V0竖直上抛,不计空气阻力,设VO=40m/s,g=10m/s2,试问：
1若要在B球上升时两球相遇,或要在B球下落时两球相遇,则H的取值范围各是多少?
2若要两球在空中相遇,则H的取值范围又是多少?

Answer 1

方法一】先来看看B能上升多久,也就是在多少时间之内它的速度变为0,很显然：v=V0-gt,v=0,V0=40m/s,∴t=4s.也就是,超过4s后B就要开始下落了.
在上升过程中相遇,可以看看B的速度随时间变化v=V0-gt,而A呢?A的速度是gt.看出什么没?呵呵,其实在这种情况下选取A做参考物,那么,就相当于是B以恒定的速度V0向A靠近!根据刚刚算到的4s时间限制,可以知道,H的取值范围是H≤V0×t=40×4=160m
小球在空中相遇,相当于一个追及问题,不计空气阻力,则B机械能守恒,也就是说它在4s内上升到最大高度,在下一个4s内,它又落回地面；以B为参照物,也就是说A必须在4s之内碰到B,否则,它们不能相遇.而A的速度在第一个4s后的速度v=gt=40m/s,以B为参照物后,A是以40m/s的恒定速度接近B的,4s的时间,它能够移动40×4=160m,加上之前的160m,所以,此时H≤320m.
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【方法二】同样的道理,B以初速度40m/s竖直上升,速度降为0需要耗时t=v/g=4s,上升最大高度h=vt-0.5gt²=40×4-0.5×10×4²=80m,上升过程中相遇,极限情况就是速度为0的时候AB相遇,那么,以地面为参照物,A自由落体的位移h=0.5gt²=0.5×10×4²=80m,即H≤80+80=160m.
在空中相遇,亦即可以在下落过程中相遇,B球上升到最大高度后做自由落体运动,耗时t=(v-v′)/g=[40-(-40)]/10=8s,也就是说,A从H落下,8s的时间内必须落地,则Hmax=0.5gt²=0.5×10×8²=320m.H≤320m.
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其实,无论以地面还是以球为参照物,计算过程都相当简单,之所以需要叙述,只是为了更易理解而已.特别是【方法一】,此法最主要就是避免了平方运算,虽然此题中体现不了多少优势,不过,这种变换参考系的方法可以记住,某些时候可以是计算简化很多很多.