证明:所有整系数多项式组成的集合为可列集

Question

证明:所有整系数多项式组成的集合为可列集

Answer 1

定理1:若M1,M2为两个可列集.则 M1×M2为可列集. 证明:可设M1=M2=N={0,1,..,n,..} 定义从N-{0} 到N×N的映射f如下: f(n)=(n-k(k+1)/2-1,k+k(k+1)/2+1-n), 其中k(k+1)/2+1≤n≤(k+1)(k+2)/2. 显然f为从N-{0} 到N×N的一一映射. 所以N×N为可列集. 定理1的系:N^n为可列集. 证明:用定理1和归纳法容易得. 定理2:若M0,M1,...,Mn,...为一列可列集.则 M0∪M1∪...∪Mn..为可列集. 证明:可设M0,M1,...,Mn,...两两不相交. 设Mn={A(n,m),m∈N}, 定义从N×N 到M0∪M1∪...∪Mn..的映射f如下: f(n,m)=A(n,m), 显然f为从N×N 到M0∪M1∪...∪Mn...的一一映射. 由定理1得N×N为可列集, 则M0∪M1∪...∪Mn...为可列集. 证明:所有整系数多项式组成的集合Z[X]为可列集 设Mn={P(X)∈Z[X],P的次数≤n} 定义从Mn到Z^(n+1)的映射f如下: f(P)=(a0,a1,..,an), 其中P(X)=a0+a1X+..,+anX^n. 显然f为从Mn到Z^(n+1)的一一映射. 所以由定理1的系得Mn为可列集. 而Z[X]=M0∪M1∪...∪Mn..., 由定理2得Z[X]为可列.